МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" ЛІНІЙНІ БАГАТОКРОКОВІ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри прикладної математики Протокол №4 від 9.11.2006 Львів – 2008 Лінійні багатокрокові методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" / Укл.: М.В. Кутнів, Я.В. Пізюр – Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2007. – 14 с. Укладачі Кутнів М.В., канд.фіз.-мат.наук, доц. Пізюр Я.В., канд.фіз.-мат.наук, доц. Відповідальний за випуск Костробій П.П., канд.фіз.-мат.наук, проф. Рецензент Каленюк П.І., д-р.фіз.-мат.наук, проф.  ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА §1. Лінійні багатокрокові методи 1. Методи Адамса. Введемо на інтервалі
рівномірну сітку
з кроком
. Якщо рівняння (1) §2 проінтегрувати на відрізку
, то одержимо
. (1) Припустимо, що нам відомі наближені значення
точного розв’зку
задачі (1), (2) §2, тоді можна вважати також, що ми маємо і величини
. Замінимо функцію
в (1) інтерполяційним многочленом Ньютона, який проходить через точки
. Його можна виразити через різниці назад:
(2) Тоді чисельний аналог (1) буде задаватися формулою
. Після заміни змінної
в останньому інтегралі та підставляння виразу (2) будемо мати
(3) де коефіцієнти
обчислюються за формулами
Формула (3) дозволяє визначити
явно, тому її називають явним методом Адамса. Розглянемо частинні випадки (3). Якщо для
, обчислити
та виразити різниці назад через
, то одержимо такі формули
Зауважимо, що при
ми маємо явний метод Ейлера. Формули (3) одержані при інтегруванні інтерполяційного многочлена від
до
, тобто зовні інтервалу інтерполяції
Добре відомо, що зовні цього інтервалу інтерполяційний многочлен дає досить погане наближення. Тому дослідимо також методи, що грунтуються на інтерполяційному многочлені, який додатково використовує точку
, тобто
(4) Підставляючи цей многочлен у (1), одержимо наступний неявний метод:
(5) де коефіцієнти
визначаються за формулами
Наведемо приклади формул (5). При
будемо мати неявний метод Ейлера
при
правило трапецій
Насправді ці два методи – однокрокові. При
одержимо відповідно такі методи
Формули (5) визначають
неявно (на кожному кроці для обчислення
необхідно розв’язати нелінійне рівняння), а тому вони називаються неявними методами Адамса. Неявні формули Адамса мають загальний вигляд:
. (6) 2. Формули диференціювання назад. Багатокрокові формули Адамса основані на чисельному інтегруванні, тобто інтеграл в (1) апроксимується деякою квадратурною формулою. Тепер розглянемо багатокрокові методи, які грунтуються на чисельному диференціюванні. Припустимо, що відомі значення
розв’язку диференціального рівняння (1) §2 . Щоб вивести формулу для
, використаємо інтерполяційний многочлен
, який проходить через точки
Як і многочлен (4) , його можна виразити через різниці назад , а саме
(7) Визначимо тепер невідоме значення
так, щоб многочлен
задовольняв диференціальне рівняння хоча б в одному вузлі сітки, тобто
Враховуючи , що
, продиференціюємо (7) по змінній

Для
одержимо явні формули
, де
. При
будемо мати явний метод Ейлера, а при
правило середньої точки
У випадку
формула має вигляд
. Однак вона нестійка, як і всі решта формул при
(див. п.4), а тому непридатна для розрахунків. Кращі властивості мають формули, які одержуються з (7) при
. Ц...